SOPHUS 1T – Episode 1: Heltall

Vi begynner kurset SOPHUS 1T med å lære om heltall.

Innleveringsoppgave

Klikk her for å laste ned innleveringsoppgaven i pdf-format:

SOPHUS_1T_EPISODE_1_INNLEVERING_v1_utenfasit

Fasit får du utdelt i timen, når du har løst alle oppgavene.

Sammendrag

Hva er et heltall?

Et heltall er et tall i listen … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … (her fortsetter listen i all uendelighet både oppover og nedover).

HVORDAN KaN vI SKRIVE/REPRESENTERE ET HELTALL?

Et heltall kan skrives på mange ulike former. Vi viser i parentes hvordan man skriver tallet 14 i hvert tilfelle.

I 10-tallsystemet, dvs. på “vanlig” form. (14)
I 2-tallsystemet, også kalt binær form. (1110)
I 3-tallsystemet. (112)
Mer generelt kan vi bruke B-tallssystemet, der B er hvilket som helst av tallene 2, 3, 4, 5, … Tallet B kalles da basen til tallsystemet.
Med romertall. (XIV)
På faktorisert form. ($2 \cdot 7$)

Ulike representasjoner har forskjellige fordeler og ulemper. Romertall er f.eks. helt ubrukelige når man skal multiplisere store tall.

Hvilke OPERASJONER HAR VI FOR HELTALL?

Med “operasjon” mener vi her en maskin med to input-tall og ett output-tall.

Vi har:

Addisjon (Eksempel: Input 5 og 7 gir output 12)
Subtraksjon (Input 5 og 7 gir output -2)
Multiplikasjon (Input 5 og 7 gir output 35)
Kvotienten til en heltallsdivisjon (Input 39 og 5 gir output 7)
Resten til en heltallsdivisjon (Input 39 og 5 gir output 4)
Potens (Input 2 og 5 gir output 32)
Største felles divisor (sfd) (Input 12 og 10 gir output 2)
Minste felles multippel (mfm) (Input 12 og 10 gir output 60)

Hvilke funksjoner har vi FOR Heltall?

Med “funksjon” mener vi her en maskin med ett input-tall og ett output-tall.

Vi har:

Fakultet (Input 5 gir output 120)
Kvadratrot (Input 49 gir output 7)
Kvadrering (Input 7 gir output 49)

Senere kan vi lære vi om mange andre interessante funksjoner for heltall, f.eks. primtallstellefunksjonen $\pi$, Eulers phi-funksjon $\phi$, den 2-adiske valuasjonen $v_2$, og divisorfunksjonen $d$.

HVILKE RELASJONER HAr VI FOR HELTALL?

Vi har:

Likhet: $=$
Mindre enn: $<$
Mindre enn eller lik: $\leq$
Større enn: $>$
Større enn eller lik: $\geq$
Er en divisor i: $\vert$

For eksempel skriver vi $n \leq 5$ hvis vi vil si att tallet $n$ er mindre enn eller lik $5$. Vi skriver også $n \vert 5$ hvis vi vil si at $n$ er en divisor til $5$. Dette er det samme som å si at $5$ er en multippel av $n$.

HVILKE EGENSKAPER KAN ET HELTALL HA?

Et heltall kan være:

Partall
Oddetall
Positivt
Negativt
Primtall
Sammensatt

Tips og linker til utforskingsoppgavene

Utforsking 1

Toerpotensene er tallene 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, …

Her ser du at siste siffer er: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, …

Kan du finne et mønster?

Hvordan blir det med de andre tallfølgene i oppgaven (Fibonaccitallene, kvadrattallene, trekanttallene, treerpotensene)? Kan du finne mønster her også?

En kul link er OEIS, der du finner millionvis av forskjellige interessante tallfølger.

Vi Hart: En kul video om Fibonaccitallene